Modelli matematici e pandemia

La pandemia continua a esercitare il suo ruolo di ospite indesiderato rendendo problematica la vita sul pianeta Terra. La ricerca scientifica si è attivata e ha condotto a risultati utili anche se non ancora risolutivi. In questo contesto si è anche cercato di coordinare azioni preventive e curative a livello di nazioni. Infatti, i numeri in gioco, l’impatto sulle strutture sanitarie e sui sistemi di produzione sono tali da richiedere un impegno particolarmente intenso. Seguendo il modello di dialogo scientifico proposto nella sezione precedente, indichiamo le ipotesi che hanno condotto ai modelli proposti in [2, 4, 5]:

1. La derivazione del modello matematico richiede un approccio multiscala ove la scala macroscopica corrisponde agli individui che possono essere infettati da dinamiche alla scala microscopica delle particelle del virus. Successivamente la dinamica all’interno del soggetto infettato si sviluppa alla scala microscopica coinvolgendo particelle del virus e gli agenti delsistema immunitario.

2. L’entità del contagio non è una quantità generica, ma dipende dal livello dell’infezione, quindi da quella che viene definita carica virale ed è una conseguenza di quella che viene definita distanza sociale fra individui.

3. La competizione fra il virus con abilità di proliferare all’interno di cellule infettate e il sistema immunitario ha luogo negli organi infettati, prima nelle vie respiratorie e successivamente nei polmoni, con possibile progressione (regressione) del livello di infezione. La dinamica si conclude con guarigione o decesso.

4. Quando la cellula infettata contribuisce alla proliferazione del virus liberando migliaia di copie, commette errori generando varianti che se meno adatte all’ambiente vengono soppresse dal sistema immunitario, o che si affermano se più idonee all’ambiente. Questa selezione può essere interpretata come una dinamica post darwiniana con probabilità dimutazioni che cresce al crescere del livello globale di infezione nella popolazione.

5. Programmi di vaccinazione possono sono sviluppati per incrementare la capacità di difesa del sistema immunitario. Si trattadi una azione che va programmata anche tenendo conto della resistenza soggettiva di una parte della popolazione a sottoporsi alla vaccinazione. I vaccinati possono comunque infettarsi, comunque con livelli di carica virale decisamente inferiore a quella dei soggetti che non lo sono.

Dalle ipotesi 1–5 si comprende che il sistema immunitario ha un ruolo chiave. Questa capacità difensiva non è dello stesso livello per tutti gli individui. Infatti, il livello di questa dipende non solo dall’età, ma anche da vari fattori, per esempio la condotta di vita e l’alimentazione. Inoltre, cure antivirali possono indebolire l’azione del virus e quindi rendere più efficace la risposta immunitaria. Il lettore interessato a una bibliografia sul tema, può riferirsi a [7, 8, 12].

​​Figura 2a. Dinamica dell’azione del sistema immunitario

​​Figura 2b. Azione del virus.

A partire dalle ipotesi 1–5 si deriva il modello matematico proposto in [2, 4, 5]. Il modello descrive la dinamica nel tempo delle densità numeriche dei seguenti soggetti:

• individui infettati sia dal virus originale e sia anche a causa delle varianti;

• ricoveri ospedalieri per crescenti livelli di terapia;

• decessi e guarigioni.

Il termine densità indica che il numero disoggetti è riferito al numero iniziale di individui nella zona studiata. Inoltre, descrive come i processi di vaccinazione influenzano le dinamiche di infezione, ospedalizzazione, guarigione etc. Lo studio richiede sia un ben definito programma di vaccinazione nel senso di numeri di vaccinati nel tempo anche in relazione al numero di soggetti coinvolgibili e delle relative tipologie di fragilità, ovvero il ruolo operativo (lavoro) nella società.

Alcuni esempi, fra i molti possibili, sono indicati nel seguito riferendosi alle dinamiche di due onde successive, ove la prima onda è controllata mediante azioni che impongono distanziamento, mentre la seconda nasce per l’allentamento del distanziamento. La coordinata verticale riporta le densità della popolazione infetta e la coordinata orizzontale il tempo. Questo è riferito all’intervallo di tempo della prima onda fino al distanziamento che genera la seconda onda.

Nelle prime tre figure si studia la dinamica prima nel caso di virus primario e nelle successive due nel caso con presenza di una variante.

L’interpretazione dei risultati, segue queste simulazioni, proposte a titolo di esempio. In dettaglio:

La figura 3 visualizza il ruolo della riduzione del distanziamento sulla seconda onda. Si vede come allentando (o annullando) il distanziamento la seconda onda indica livelli più elevati di contagio.

Figura 3. Densità di infetti nel tempo per diversi indici (moderati) di distanziamento.

La figura 4 corrisponde a elevati livelli di distanziamento che conducono a una riduzione del livello del numero di infetti.

Figura 4. Densità di infetti nel tempo per diversi indici (elevati) di distanziamento.

La figura 5 studia invece la dinamica della variante rispetto al virus primario. La variante, se presenta livelli più elevatidi capacità infettiva, tende a prevalere sul virus primario.

Figura 5. Densità di infetti nel tempo: da virus primario (blu) e da variante (arancione).

Osservazione. Il modello matematico è in grado di visualizzare non solo l’andamento nel tempo del numero di infetti, ma anche del livello di infezione e quindi sulla domanda di livello di ospedalizzazione, fino a individuare la necessità di terapia intensiva.

È utile precisare meglio il significato di distanziamento: si intende l’insieme di azioni, generalmente indotte da normative, che riducono, o proteggono, il contatto fisico fra persone (mascherine, etc.). Questa entità fisica-sociale misura sia la probabilità di contatto e sia l’entità dell’infezione iniziale o carico virale iniziale. Nei modelli matematici il distanziamento è misurato da un parametro con valori da 0 a 1, che corrispondono, rispettivamente, a chiusura totale e apertura senza limiti. Il distanziamento determina inoltre la previsione di decessi.

A partire da queste simulazioni osserviamo i possibili effetti di un programma di vaccinazione nelle due figure che seguono.

La figura 6 corrisponde ad un caso specifico di variante a forte livello di capacità infettiva e quindi con forte prevalenza dellavariante sul virus primario.

Figura 6. Densità di infetti nel tempo da virus primario (blu) e variante (arancione).

La figura 7 visualizza il ruolo di un processo di vaccinazione che corrisponde a una attivazione del sistema immunitario. Un forte piano di vaccinazione conduce alla riduzione del numero di infetti. Comunque non al completo annullamento diquesti.

Figura 7. Densità di infetti nel tempo, da virus primario, variante e vaccinati (nero).

Osservazione. Anche in questo caso, il modello matematico è in grado di visualizzare non solo l’andamento nel tempo del numero di infetti, ma anche del livello di infezione e quindi sul livello di ospedalizzazione, fino a individuare la necessità diterapia intensiva e i decessi.

Interpretazione dei risultati

Queste simulazioni, e il complesso di quelle che sono state prodotte dal team di lavoro [2, 4], conduce alle seguenti indicazioni:

• Anche dopo un elevato distanziamento, il virus continua a circolare e riprende vigore infettivo nell’onda successiva. Non appena il distanziamento è allentato la seconda onda risulta tanto più dannosa quanto maggiore è la riduzione di quest’ultimo.

• La variante è di norma più aggressiva del virus primario ed è predominante, soprattutto nella seconda onda. La riduzione del distanziamento contribuisce al predominio della variante.

• Un piano di vaccinazione continuo riduce di molto, soprattutto nella seconda onda, il numero degli infetti. Tuttavia, non annulla la circolazione del virus. Questo riprenderà nel momento in cui il distanziamento sarà rilassato (o peggio annullato).

• Un piano di vaccinazione non elimina il predominio della variante. Il modello indica come sia possibile anche il contagio dei vaccinati. Questi tuttavia richiedono livelli inferiori di terapia. Inoltre, il modello indica come la circolazione del virus porta all’infezione dei vaccinati quantitativamente più intensa quanto più circola l’infezione del virus.

I modelli e le varianti

Lo studio delle varianti ha richiesto un’attenzione particolare, anche da parte della ricerca matematica. Abbiamo assistito all’insorgere e al predominio della variante Delta. I vaccini attualmente presenti sono in grado di attivare il sistema immunitario contro questo tipo di virus attualmente dominate. I modelli matematici hanno mostrato capacità di descrivere la complessa dinamica sia in assenza sia in presenza di piani di vaccinazione.

Attualmente stiamo osservando la crescita della variante Omicron. Questa presenta caratteristiche nuove quali una maggiore azione infettiva e capacità di sottrarsi all’azione dei vaccini attualmente disponibili. Questa variante e caratterizzata da un numero elevato di mutazioni e i primi studi indicano casi di seconda infezione a un primo contagio dal virus primario o anche dalla variante Delta.

Forse, quest’ultima variante presenta una minore capacità di sviluppare patologie gravi, ma i dati attualmente disponibili non sono certi. Anche questa è una sfida scientifica sulla quale i gruppi di lavoro, che operano sul progetto menzionato nel seguito, sono attualmente impegnati a produrre un simulatore che tenga conto anche di dinamiche alla scala molecolare. Anche in questo caso, la ricerca matematica va sviluppata sulla base di collaborazioni interdisciplinari. Qui, matematica e virologia.

Una congettura sulla quale ragionare, è che sia maggiormente invasiva, ma allo stesso tempo più vulnerabile dall’azione del sistema immunitatio. Supponendo che questa caratteristica di Omicron sia confermata (i primi dati supportano questa ipotesi), le simulazioni confermano il ruolo chiave dei programmi di vaccinazione per indebolire progressivamente l’azione del virus, ma indicano anche la necessità di gestire una situazione di elevato numero di infetti, in particolare i non vaccinati.

I primi dati indicano che la variante Omicron ha preso il sopravvento, in termini di soggetti infetti, sulla variante Delta. Inoltre la patologia indotta da Omicron è meno grave di quella indotta da Delta. In attesa di dati che confermino a livello statistico quanto abbiamo affermato, osserviamo che i modelli matematici ai quali facciamo riferimento sono in grado di simulare gli scenari possibili della dinamica del processo infettivo anche in riferimento a processi di vaccinazione.

Più in generale, occorre tener conto che le dinamiche particolari sulle quali la ricerca scientifica ha posto un notevole impegno di risorse umane e finanziarie si inseriscono in un complesso sistema di interazioni che coinvolgono ambiti diversi,in particolare sistemi sociali, economici, sistemi di mobilità e trasporto, e quindi strutture ospedaliere.

La figura 9 illustra il complesso sistema di interazioni del quale occorre tener conto in una dinamica che possiamo definire globale.

Figura 9. Diagramma di flusso delle interazioni in una dinamica globale.

Da tutti i temi trattati in questa sezione emerge l’esigenza di lavoro interdisciplinare fra matematica e biologia-medicina, tenendo conto anche della necessità di un dialogo fra scienze matematiche e responsabili delle situazioni di crisi.

Ulteriori sviluppi della ricerca

A conclusione di questa sezione, è utile chiedersi come la ricerca potrebbe (dovrebbe) ulteriormente svilupparsi. Proponiamo di indirizzare il focus su tre punti, fra i vari possibili. Di questi il terzo è quello maggiormente utile al dialogo con la società.

• Approfondire lo studio della complessa interazione fra virus e risposta immunitaria, tenendo conto dell’eterogeneità soggettiva della risposte del sistema stesso.

• Costruire un simulatore della dinamica del virus sui tessuti di organi, in particolare il polmone, tenendo conto di come il virus ne altera le proprietà. Studi in tal senso sono stati sviluppati in riferimento alla fibrosi polmonare [6], vedi figura 8 che visualizzano, in rosso, il progredire del deterioramento del tessuto polmonare a causa dell’azione del virus.

• Utilizzare i modelli attualmente disponibili per sviluppare un simulatore della risposta del sistema tenendo conto delle esigenze del processo decisionale dei gestori dei problemi di crisi. Il simulatore potrà poi essere strutturato come strumento di intelligenza artificale a supporto del processo decisionale.

Figura 8. Deterioramento progressivo del parenchima.