Che cosa si intende per modello matematico?

Risposta al primo quesito

In generale, un modello matematico è una rappresentazione virtuale di fenomeni particolari della realtà, fisica, biologica, ma anche sociale. La derivazione dei modelli parte dall’esame degli aspetti fenomenologici della realtà avvalendosi di osservazioni, strumenti di misura, dati statistici su osservazioni ripetute, e ogni altra informazione che consenta di avvicinarsi alla realtà che si nasconde dietro ogni fenomeno.

Il primo passo nella deduzione di un modello è l’individuazione delle variabili alle quali si affida la descrizione, nel tempo e nello spazio, della realtà in esame. Definiremo queste variabili di stato. I sistemi reali sono costituiti da molti soggetti interagenti. Lo studio delle interazioni conduce a definire come queste agiscano sulle variabili di stato. Se è possibile affidare la descrizione delle interazioni a strutture matematiche si giunge, con calcoli quasi sempre non banali, alla deduzione di un’equazione matematica, che pone in relazione la causa (le interazioni ed eventuali azioni esterne) e l’effetto (la dinamica delle variabili di stato).

I modelli matematici non sono solo caratterizzati da tempo, spazio e variabili di stato, ma anche da parametri che modellizzano le caratteristiche specifiche (fisiche, biologiche, sociali, etc.) del sistema reale. Al variare dei parametri, il modello riproduce scenari possibili della dinamica del sistema. In questo caso, viene generalmente usata la definizione modello esplorativo. Se invece, sulla base di dati empirici (sperimentali), è possibile assegnare a questi parametri valoriben definiti, la definizione appropriata è quella di modello predittivo.

Frequentemente, i modelli matematici sono posti di fronte alla aspettativa di previsioni accurate anche dal punto di vista quantitativo. Questa aspettativa è, in molti casi, delusa e ha generato critiche di diverso tipo, dal quadro pessimistico di Eugene P. Wigner [16], alla critica, per certi aspetti più pungente, di Nassam Nicolas Taleb, il quale pone in evidenza la difficoltà dei modelli nel prevedere quanto intuitivamente prevedibile e fallire di fronte a eventi difficilmente prevedibili [14]:

A Black Swan is a highly improbable event with three principal characteristics: It is unpredictable; it carries a massive impact; and, after the fact, we concoct an explanation that makes it appear less random, and more predictable, than it was. (Un cigno nero è un evento altamente improbabile con tre caratteristiche principali: è imprevedibile; ha un impatto enorme; tuttavia, a seguito dell’evento, emerge una spiegazione che lo fa apparire meno casuale e più prevedibile di quanto non lo fosse.)

In realtà, la vera risorsa che i modelli matematici sono in grado di offrire è la loro capacità di visualizzare, anche se solo alivello qualitativo, scenari possibili e, in molti casi, non prevedibili, quindi anche il cigno nero.

Questa risorsa può essere utile ai governi e a chi è incaricato di gestire situazioni di crisi. Quindi va valorizzata e resa efficiente. È tuttavia necessario, come vedremo nella risposta al secondo quesito, individuare un metodo di deduzione dei modelli che segua un percorso razionale edanche rigoroso [1]. Questo passaggio si oppone a metodi euristici, elaborati caso per caso. Questi, quasi sempre, conducono a modelli validi solo in condizioni molto specifiche, che poi falliscono quando applicati in casi anche solo limitatamente differenti.