Matematica e sistemi viventi: quale strategia?

Risposta al secondo quesito

I sistemi viventi si manifestano con dinamiche fondamentalmente diverse da quelle che caratterizzano la materia inerte. Pertanto, non è possibile avvalersi di teorie fisiche che pongano deterministicamente in relazione causa ed effetto. Quindi, la ricerca di una teoria matematica dei sistemi viventi richiede l’elaborazione di una strategia che conduca a un quadro concettuale di riferimento che possa sostituire quello offerto dalle teorie fisiche della materia inerte (dalla meccanica di Newton alle teorie relativistiche e quantistiche).

Immanuel Kant (1724–1804) cercò di elaborare una teoria dei sistemi viventi e a lui dobbiamo la seguente definizione:

Strutture speciali, organizzate e con la capacità di perseguire uno scopo. [9]

Gli stessi concetti sono ripresi circa due secoli dopo, da Lee Hartwell (1939), premio Nobel, che osserva quanto segue:

Sebbene i sistemi viventi obbediscano alle leggi della fisica e della chimica, la nozione di funzione o scopo differenzia la biologia dalle altre scienze naturali. Le cellule infatti non sono molecole, ma hanno una dinamica vivente indotta dalla scala inferiore dei geni. [10]

Il concetto fondamentale di questa frase riguarda la capacità delle cellule di organizzarsi in strutture, tessuti ed organi. Questa idea apre la ricerca sui complessi legami fra la scale molecolare dei geni e quella delle cellule ove la dinamica alla scala cellulare è indotta dalla dinamica, alla scala molecolare dei geni. I soggetti in ciascuna scala interagiscono fra loro, mentre la dinamica alla scala molecolare modifica per proprietà delle cellule che, a loro volta, interagiscono fra loro con regole di interazione indotte dalla scala inferiore. Questa visione multiscala è riferibile a tutti i sistemi viventi.

Va riconosciuto ad Erwin Schrödinger (1887–1961) il merito di aver introdotto il concetto di mutazioni [13] e di averconsiderato interazioni fra scale diverse.

Questo concetto è ancora oggi il riferimento chiave a supporto delle interazioni tra matematica e biologia. Infatti, la derivazione di un teoria matematica dei sistemi viventi richiede la comprensione del legame tra le dinamiche alla scala molecolare dei geni e le funzioni espresse a livello delle cellule.

Immanuel Kant

Erwin Schrödinger

Leland Hartwell

Indubbiamente, gli autori prima citati rappresentano il riferimento fondamentale anche per noi, autori di questo articolo. Troviamo un’idea, indubbiamente meno ambiziosa, ma che fornisce una risposta operativa alle osservazioni di Hartwell, in [1], ove la derivazione dei modelli matematici è riferita ad una struttura matematica in grado di includere le principali caratteristiche di complessità dei sistemi viventi. Quali caratteristiche? Una selezione è necessaria in quanto non possiamo ingenuamente pensare di includerle tutte. Una proposta è quella di riferirsi alle cinque caratteristiche indicate nel seguito.

Capacità di esprimere una strategia. Consideriamo sistemi costituiti da più elementi, generalmente molti, che interagiscono. Lo stato di ciascun elemento è definito non solo da variabili meccaniche, per esempio posizione e velocità, ma anche da variablili aggiuntive idonee adescrivere stati specifici del sistema vivente oggetto di studio. Per esempio: stato sociale, educazione, ma anche variabili espresse a livello biologico. Gli stati sono definiti attività, gli elementi interagenti particelle attive, mentre il complesso del sistema è definito materia attiva. La capacità di sviluppare una strategia è prerogativa delle attività.

Eterogeneità. I sistemi viventi non sono fra loro identici. Numerose differenze distinguono un soggetto dagli altri. Di conseguenza, anche il comportamento del singolo soggetto differisce da quello degli altri. I modelli matematici non possono trascurare questa caratteristica, ma nello stesso tempo non possono tenere conto di ogni dettaglio. Anticipiamo due aspetti chiave dell’eterogeneità che sono tenuti in conto dai modelli descritti nei paragrafi che seguono:

1. Un sistema complessivo può essere suddiviso in sottosistemi costituiti da aggregazioni sociali di particelle attive che condividono sia lo stesso obiettivo, sia la strategianel perseguirlo: si tratta dei sottosistemi funzionali.

2. Rappresentazione dello stato di ogni sottosistema funzionale mediante una distribuzione di probabilità sulla variabile attività.

Nonlinearità additiva nelle interazioni. Il rapporto causa effetto nei sistemi viventi non è additivo, ma è rielaborato dal soggetto tenendo conto della propria variabile attività

Capacità di apprendimento. I sistemi viventi sono in grado di apprendere e memorizzare elementi acquisiti nella dinamica di apprendimento. Questi modificano la strategia sviluppata dalle particelle attive e, di conseguenza, il rapporto fra causa ed effetto evolve nel tempo.

Mutazioni e selezioni darwiniane. Tutti i sistemi viventi sono evolutivi, in quanto i processi di nascita possono generare entità più adatte all’ambiente. Queste, a loro volta, generano nuove entità ancora più adatte all’ambiente che si affermano rispetto a quelle meno adatte.

Queste caratteristiche di complessità implicano che la modellizzazione richiede sempre un approccio multiscala, con le dinamiche a grande scala che devono essere adeguatamente correlate alle dinamiche alle scale inferiori. Il quadro concettuale è quello della biologia evolutiva con riferimento a Ernst Mayr [11].

La descrizione del processo di modellizzazione andrebbe formalizzata aggiungendo alla descrizione qualitativa ulteriori dettagli analitici che conducano al modello. Il lettore interessato a questi aspetti troverà una descrizione esaustiva, in tutti gli aspetti tecnici, nell’articolo scientifico [3] disponibile (open access). Invece, questa presentazione vuole essere divulgativa, rivolta a un insieme ampio di lettori, indirizzando le questioni tecniche ai settori specifici di ricerca e cercando invece di comprendere come possa essere sviluppato il dialogo fra scienze matematiche e biologiche. Tutto ciò rimanendo a livello di descrizione qualitativa, comunque sufficiente a comprendere la logica seguita nella derivazione di modelli di sistemiviventi. La figura 1 propone un diagramma a blocchi che percorre in sequenza i passi dall’osservazione del sistema alla loro derivazione.

Figura 1. Strategia verso la derivazione di modelli di sistemi viventi

Da questa strategia è nata una nuova generazione di modelli matematici che si contrappone a quelli classici della dinamica delle popolazioni, ove il legame fra causa ed effetto non tiene sufficientemente conto delle caratteristiche di complessità prima definite. In proposito, è giusto chiedersi se il percorso presentato nella figura 1 rappresenti una svolta reale rispetto all’approccio tradizionale criticato da Wigner [16]. La risposta è nel paragrafo che segue.